Question

对于函数y=f（x），x∈D，若存在常数c，使对任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，满足

f(x1)+f(x2)

2

=c，则称函数f（x）在D上的均值为c，现已知函数：①y=2^x，②y=x⁵，③y=2sinx，④y=lgx，则满足在其定义域上均值为2的函数的序号是

②④

（填上所有符合要求的函数的序号）

Answer 1

分析：首先分析题目求对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函数．
对于函数①y=2^x，利用特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．
对于函数②y=x⁵，可直接取任意的x₁，验证求出唯一的 x2=

5	4-x15

，即可得到成立．
对于函数③y=2sinx，因为y=2sinx是R上的周期函数，明显不成立．
对于函数④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．

解答：解：首先分析题目求对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函数．
对于函数①y=2^x，利用特殊值x₁=3时，代入验证不成立成立．x₂不存在
对于函数②y=x⁵，可直接取任意的x₁，验证求出唯一的 x2=

5	4-x15

，即可得到成立．
对于函数③y=2sinx，因为y=2sinx是R上的周期函数，明显不成立．
对于函数④y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．
故答案为：②④

点评：此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．