Question

14．设命题p：函数$f（x）={（a-\frac{3}{2}）^x}$是R上的减函数，命题q：x²+2ax+6a-8＞0对任意x∈R都成立．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．

解答 解：命题p：函数$f（x）={（a-\frac{3}{2}）^x}$是R上的减函数，则0＜a-$\frac{3}{2}$＜1，即$\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{5}{2}$，
命题q：x²+2ax+6a-8＞0对任意x∈R都成立，
则判别式△=4a²-4（6a-8）＜0，即a²-6a+8＜0，解得2＜a＜4，
若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
则p，q为一真一假，
若p真q假，则：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}＜a＜\frac{5}{2}}\\{a≥4或a≤2}\end{array}\right.$，得$\frac{3}{2}$＜a≤2，
若p假q真，则：$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{5}{2}或a≤\frac{3}{2}}\\{2＜a＜4}\end{array}\right.$，得$\frac{5}{2}$≤a＜4，
综上$\frac{3}{2}$＜a≤2或$\frac{5}{2}$≤a＜4．

点评 本题主要考查复合命题的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．