Question

【题目】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1F2 ， 这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1 ， e2 ， 则e1e2的取值范围是（ ）
A.（ ，+∞）
B.（ ，+∞）
C.（ ，+∞）
D.（0，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n）， 由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，
即有m=10，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a1 ，
由双曲线的定义可得m﹣n=2a2 ，
即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，
可得c＞ ，即有 ＜c＜5．
由离心率公式可得e1e2= = = ，
由于1＜ ＜4，则有 ＞ ．
则e1e2的取值范围为（ ，+∞）．
故选：A．
设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．