【题目】已知椭圆的左焦点与抛物线 的焦点重合,椭圆的离心率为,过点作斜率不为0的直线,交椭圆于两点,点,且为定值.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:(1)由抛物线焦点可得c,再根据离心率可得a,即得b(2)先设直线方程x=ty+m,根据向量数量积表示,将直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理代入化简可得为定值的条件,解出m;根据点到直线距离得三角形的高,利用弦公式可得底,根据面积公式可得关于t的函数,最后根据基本不等式求最值
试题解析:解:(1)设F1(﹣c,0),∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为(﹣1,0),且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合,∴c=1,
又椭圆E的离心率为,得a=,
于是有b2=a2﹣c2=1.故椭圆Γ的标准方程为:.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为:x=ty+m,
由整理得(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0
,,
,
=
=(t2+1)y1y2+(tm﹣t)(y1+y2)+m2﹣=.
要使为定值,则,解得m=1或m=(舍)
当m=1时,|AB|=|y1﹣y2|=,
点O到直线AB的距离d=,
△OAB面积s==.
∴当t=0,△OAB面积的最大值为.
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【题目】“累积净化量()”是空气净化器质量的一个重要衡量指标,它是指空气净化器从开始使用到净化效率为时对颗粒物的累积净化量,以克表示.根据《空气净化器》国家标准,对空气净化器的累计净化量()有如下等级划分:
累积净化量(克) | 12以上 | |||
等级 |
为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量,随机抽取台机器作为样本进行估计,已知这台机器的累积净化量都分布在区间中.按照均匀分组,其中累积净化量在的所有数据有: 和,并绘制了如下频率分布直方图:
(1)求的值及频率分布直方图中的值;
(2)以样本估计总体,试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为的空气净化器有多少台?
(3)从累积净化量在的样本中随机抽取2台,求恰好有1台等级为的概率.
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【题目】已知椭圆的左焦点与抛物线 的焦点重合,椭圆的离心率为,过点作斜率不为0的直线,交椭圆于两点,点,且为定值.
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值.
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【题目】关于曲线 给出下列四个命题:
(1)曲线有两条对称轴,一个对称中心
(2)曲线上的点到原点距离的最小值为1
(3)曲线的长度满足
(4)曲线所围成图形的面积 满足
上述命题正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在底面是菱形的四棱锥中, 平面, ,点分别为的中点,设直线与平面交于点.
(1)已知平面平面,求证: .
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为, 若椭圆上一点满足,且椭圆过点,过点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点是点在轴上的垂足,延长交椭圆于,求证: 三点共线.
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