Question

（选做题）已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程是：

x=- 5 + 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）将曲线C横坐标缩短为原来的

1

2

，再向左平移1个单位，得到曲线曲线C₁，求曲线C₁上的点到直线l距离的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．
（Ⅱ）曲线C₁的方程为4x²+y²=4，设曲线C₁上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ，得出ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4x
即曲线C的方程为（x-2）²+y²=4，直线l的方程是：x-y+2

5

=0…（4分）
（Ⅱ）将曲线C横坐标缩短为原来的

1

2

，再向左平移1个单位，得到曲线C₁的方程为4x²+y²=4，设曲线C₁上的任意点（cosθ，2sinθ）
到直线l距离d=

|cosθ-2sinθ+2 5 |

2

=

|2 5 - 5 sin(θ+?)|

2

．
当sin（θ+φ）=-1时
到直线l距离的最小值为

10

2

．                           …（10分）

点评：本题考查曲线参数方程求解、应用．考查函数思想，三角函数的性质．属于中档题．