Question

【题目】设函数f（x）=ex+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．
（1）若x=0是F（x）的极值点，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q两点间的最短距离；
（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为F（x）=ex+sinx﹣ax，所以F'（x）=ex+cosx﹣a，

因为x=0是F（x）的极值点，所以F'（0）=1+1﹣a=0，a=2．

又当a=2时，若x＜0，F'（x）=ex+cosx﹣a＜1+1﹣2=0，

所以F'（x）在（0，+∞）上为增函数，所以F'（x）＞F'（0）=1+1﹣2=0，所以x=0是F（x）的极小值点，

所以a=2符合题意，所以|PQ|=et+sint﹣2t．令h（x）=ex+sinx﹣2x，即h'（x）=ex+cosx﹣2，

因为h'（x）=ex﹣sinx，当x＞0时，ex＞1，﹣1≤sinx≤1，

所以h'（x）=ex﹣sinx＞0，所以h'（x）=ex+cosx﹣2在（0，+∞）上递增，

所以h'（x）=ex+cosx﹣2＞h'（0）=0，∴x∈[0，+∞）时，h（x）的最小值为h（0）=1，所以|PQ|min=1．

（2）解：令（x）=F（x）﹣F（﹣x）=ex﹣e﹣x+2sinx﹣2ax，

则'（x）=ex﹣e﹣x+2cosx﹣2a，S（x）='（x）=ex﹣e﹣x﹣2sinx，

因为S'（x）=ex+e﹣x﹣2cosx≥0当x≥0时恒成立，所以函数S（x）在[0，+∞）上单调递增，∴S（x）≥S（0）=0当x∈[0，+∞）时恒成立；

故函数'（x）在[0，+∞）上单调递增，所以'（x）≥'（0）=4﹣2a在x∈[0，+∞）时恒成立．

当a≤2时，'（x）≥0，（x）在[0，+∞）单调递增，即（x）≥（0）=0．

故a≤2时F（x）≥F（﹣x）恒成立．

当a＞2时，因为'（x）在[0，+∞）单调递增，

所以总存在x0∈（0，+∞），使（x）在区间[0，x0）上'（x）＜0，即（x）在区间[0，x0）上单调递减，而（0）=0，

所以当x∈[0，x0）时，（x）＜0，这与F（x）﹣F（﹣x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立矛盾，

所以a＞2不符合题意，故符合条件的a的取值范围是（﹣∞，2]．

【解析】（1）根据题意可知f（t）=g（t），令h（x）=ex+sinx﹣x（x≥0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为P、Q两点间的最短距离．（2）令（x）=F（x）﹣F（﹣x）=ex﹣e﹣x+2sinx﹣2ax，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，等价于（x）≥0恒成立，求出其导函数，可求出φ（x）的单调性，进而可求得a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．