Question

设函数f（x）=

3x-1

x+1

．
（1）已知s=-t+

1

2

（t＞1），求证：f（

t-1

t

）=

s+1

s

；
（2）证明：存在函数t=φ（s）=as+b（s＞0），满足f（

s+1

s

）=

t-1

t

；
（3）设x₁=

11

17

，x_n+1=f（x_n），n=1，2，…．问：数列{

1

xn-1

}是否为等差数列？若是，求出数列{x_n}中最大项的值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数的表达式求出f（

t-1

t

）及

s+1

s

，得出f（

t-1

t

）=

s+1

s

；
（2）先计算f（

s+1

s

）和

t-1

t

，假设

2S+3

2S+1

=

as+b-1

as+b

列式得出a，b的值，从而得出存在函数t=φ（s）=-s-

1

2

（s＞0），满足f（

s+1

s

）=

t-1

t

；
（3）利用x_n+1=f（x_n），得出x_n+1=

3x n-1

x n+1

，再计算

1

x n+1-1

-

1

x n-1

=

1

3x n-1 x n+1 -1

-

1

x n-1

=

1

2

，从而得出数列{

1

xn-1

}是等差数列，且结合函数的单调性得到当n=7时，数列{x_n}中最大项．

解答：解：（1）f（

t-1

t

）=

3• t-1 t -1

t-1 t +1

=

2t-3

2t-1

s+1

s

=

-t+ 1 2 +1

-t+ 1 2

=

2t-3

2t-1

；
∴f（

t-1

t

）=

s+1

s

；
（2）f（

s+1

s

）=

3• s+1 s -1

s+1 s +1

=

2S+3

2S+1

t-1

t

=

as+b-1

as+b

；
由

2S+3

2S+1

=

as+b-1

as+b

得：

a=-1 b=- 1 2

故存在函数t=φ（s）=-s-

1

2

（s＞0），满足f（

s+1

s

）=

t-1

t

；
（3）∵x_n+1=f（x_n），
∴x_n+1=

3x n-1

x n+1

，
∴

1

x n+1-1

-

1

x n-1

=

1

3x n-1 x n+1 -1

-

1

x n-1

=

1

2

，
∴数列{

1

xn-1

}是等差数列，首项为：

1

11 17 -1

=-

17

6

，公差为

1

2

，
∴

1

xn-1

=-

17

6

+

1

2

（n-1），x_n=

2

n- 20 3

+1，
当n=7时，数列{x_n}中最大项为：x₇=7．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列与函数的综合、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．