Question

已知圆C₁：x²+y²=r²（b＜r＜a）与椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1，作直线l与C₁、C₂分别相切于点A、B（A、B位于第一象限），求|AB|最大值．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₀，y₀），则过A的圆的切线方程为x₀x+y₀y=r²，将其与椭圆方程联立，得一元二次方程，由△=0，整理后即可得|AB|，求|AB|最大值时使用均值定理，注意等号成立的条件．

解答： 解：设A（x₀，y₀），则过A的圆的切线方程为x₀x+y₀y=r²，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得
（b2+

a2x02

y02

）x²-

2a2r2x0

y02

x+

a2r4

y02

-a²b²=0
由△=0得（x-x₀）²+（y-y₀）²=a²+b²-

a2b2

r2

-r²
∴|AB|=

a2+b2- a2b2 x2 -x2

，a＜x＜b，
∵

a2b2

x2

+x²≥2ab
∴|AB|≤

a2+b2-2ab

=a-b（当且仅当x=

ab

时取等号）
∴|AB|的最大值为a-b．

点评：本题考查了圆与椭圆的综合，直线与曲线相切的关系，有一定的运算量，解题时要耐心细致．