Question

A、B、C三城市分别有某种机器10台、10台、8台，支援D市18台、E市10台.从A市调一台机器到D、E两市的运费分别为200元和800元；从B市调一台机器到D、E两市的运费分别为300元和700元；从C市调一台机器到D、E两市的运费分别为400元和500元.

（1）若从A、B两市各调x台到D市，当三市28台机器全部调运完毕后，求总运费P（x）关于x的函数表达式，并求P（x）的最大值和最小值；

（2）若从A市调x台到D市，从B市调y台到D市，当28台机器全部调运完毕后，用x、y表示总运费P，并求P的最大值和最小值.

Answer 1

（1）P(x)_max=P(5)=13 200元,P（x）_min=P（9）=10 000元（2）当x=10,y=8时，P_min=9 800;当x=0,y=10时，P_max=14 200.

解析:

（1）机器调运方案如下表：

方	A	B	C	需量
D	200x	300x	400(18-2x)	18
E	800(10-x)	700(10-x)	500（2x-10）	10
供量	10	10	8

总运费P（x）=200x+300x+400（18-2x）+800（10-x）+700（10-x）+500（2x-10）=17 200-800x，

又由0≤x≤10,0≤18-2x≤8,得定义域5≤x≤9，

所以P(x)_max=P(5)=13 200(元）,P（x）_min=P（9）=10 000（元），

（2）机器调运方案如下表：

方	A	B	C	需量
D	200x	300y	400(18-x-y)	18
E	800(10-x)	700(10-y)	500（x+y-10）	10
供量	10	10	8

总运费P=200x+300y+400（18-x-y）+800（10-x）+700（10-y）+500（x+y-10）=17 200-100（5x+3y），  其中0≤x≤10,0≤y≤10,0≤18-x-y≤8.

在xOy平面内作出上述不等式的可行域（如图中阴影部分）.其中l₁:x+y=18,l₂:x+y=10. 可见，当x=10,y=8时，P_min=9 800;当x=0,y=10时，P_max=14 200.