Question

已知sin2α-

sin4β

cos2γ

=

cos4β

sin2γ

-cos2α
（1）求证：sin²β=cos²γ；
（2）探求角β，γ的关系．

Answer 1

分析：（1）对所给的式子进行移项，再同分进行化简，主要利用平方关系进行转化为含有sin²β和cos²γ的式子，进行因式分解并合并；
（2）根据（2）的结论分两种情况进行求解，利用诱导公式和正弦函数的性质，找出两个角的关系．

解答：证明：（1）∵sin2α-

sin4β

cos2γ

=

cos4β

sin2γ

-cos2α，∴

sin4β

cos2γ

+

cos4β

sin2γ

=1，
∵sin⁴βsin²γ+cos⁴βcos²γ=cos²γsin²γ，
∴sin²γcos²γsin⁴β（1-cos²γ）+（1-sin²β）²cos²γ=0
（1-cos²γ）cos²γsin⁴β-2sin²βcos²γ+cos⁴γ=0
∴（sin²β-cos²γ）²=0，即sin²β=cos²γ．
解：（2）由（1）知有两种情况，
当sinβ=cosγ=sin(

π

2

-γ)时，则β±γ=

π

2

+2kπ(k∈Z)，
当sinβ=-cosγ=sin(γ-

π

2

)时，有β±γ=-

π

2

+2kπ(k∈Z)．

点评：本题是三角恒等变换的综合题，考查了同角的平方关系的应用，诱导公式的应用和正弦函数的应用，考查了逻辑思维能力．