Question

已知实数x，a₁，a₂，y成等差数列，x，b₁，b₂，y成等比数列，则

(a1+a2)2

b1b2

的取值范围是（　　）

• A、[4，+∞）
• B、（-∞，-4]∪[4，+∞）
• C、（-∞，0]∪[4，+∞）
• D、不能确定

Answer 1

分析：利用实数x，a₁，a₂，y成等差数列，实数x，b₁，b₂，y成等比数列，可得x+y=a₁+a₂，xy=b₁b₂，利用基本不等式，即可求得结论，注意讨论xy的符号．

解答：解：∵实数x，a₁，a₂，y成等差数列，实数x，b₁，b₂，y成等比数列，
∴x+y=a₁+a₂，xy=b₁b₂，
则

(a1+a2)2

b1b2

=

(x+y)2

xy

=

x2+y2+2xy

xy

=

x

y

+

y

x

+2．
当xy＞0时，

(a1+a2)2

b1b2

=

(x+y)2

xy

=

x2+y2+2xy

xy

=

x

y

+

y

x

+2≥2

x y × y x

+2=4，当且仅当x=y时取等号
当xy＜0时，

(a1+a2)2

b1b2

=

(x+y)2

xy

=

x2+y2+2xy

xy

=

x

y

+

y

x

+2≤-2

x y × y x

+2=0，当且仅当x=y时取等号
综上所述，

(a1+a2)2

b1b2

的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．
故选C．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意均值不等式的合理运用．