Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1，则下列四个命题中真命题的序号为

 

．
①S₂₀₀₉=2009；②S₂₀₁₀=2010；③a₂₀₀₉＜a₂；④S₂₀₀₉＜S₂．

Answer 1

分析：根据已知条件可判断a₂＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，0＜a₂₀₀₉＜1＜a₂，从而公差d＜0可判断③，
然后两式相加整理可得a₂+a₂₀₀₉=2，利用等差数列的性质可知a₁+a₂₀₁₀=a₂+a₂₀₀₉=2可判断①②，
由公差d＜0 可得a₂+a₂₀₀₈＞a₂+a₂₀₀₉＞a₂+a₂₀₁₀，结合等差数列的性质，可得2a₁₀₀₅＞2＞2a₁₀₀₆，
从而可得0＜a₁₀₀₆＜1＜a₁₀₀₅，可判断④的正误．

解答：解：由（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1
可得a₂-1＞0，-1＜a₂₀₀₉-1＜0即a₂＞1，0＜a₂₀₀₉＜1，从而可得等差数列的公差d＜0
③a₂₀₀₉＜a₂正确
把已知的两式相加可得（a₂-1）³+2010（a₂-1）+（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=0
整理可得（a₂+a₂₀₀₉-2）•[（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010]=0
结合上面的判断可知（a₂-1）²+（a₂₀₀₉-1）²-（a₂-1）（a₂₀₀₉-1）+2010＞0
所以a₂+a₂₀₀₉=2，而s2010=

a1+a2010

2

×2010=2010×

a2+a2009

2

=2010②正确
由于d＜0，a₂₀₁₀＜a₂₀₀₉＜1，则S₂₀₀₉=S₂₀₁₀-a₂₀₁₀=2010-a₂₀₁₀＞2009①错误
由公差d＜0 可得a₂+a₂₀₀₈＞a₂+a₂₀₀₉＞a₂+a₂₀₁₀，结合等差数列的列的性质，可得2a₁₀₀₅＞2＞2a₁₀₀₆
从而可得0＜a₁₀₀₆＜1＜a₁₀₀₅
④s₂₀₀₉-s₂=a₃+a₄+…+a_{2009=2007a1006}＞0，故④错误
故答案为：②③

点评：本题注意考查了等差数列的性质的运用，灵活利用m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q，是解决问题的关键，还要求考生具备一定的推理论证能力．