Question

如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.

已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.

求证:l⊥γ.

Answer 1

证法一:在γ内取一点P,作PA垂直α与γ的交线于A,PB垂直β与γ的交线于B,则PA⊥α,ΡΒ⊥β.

∵l=α∩β,

∴l⊥PA,l⊥PB.

∵α与β相交,

∴PA与PB相交.

又PAγ,PBγ,∴l⊥γ.

证法二:在α内作直线m垂直于α与γ的交线,在β内作直线n垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ,β⊥γ,

∴m⊥γ,m⊥γ.

∴m∥n.又nβ,

∴m∥β.∴m∥l.

∴l⊥γ.

证法三:在l上取一点P,过点P作γ的垂线l′,

但α∩β=l,∴l与l′重合.∴l⊥γ.

小结:证法一、证法二都是利用“两平面垂直时,在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质,添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键.

证法三是利用“如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内”这一性质,添加了l′这条辅助线,这是证法三的关键.

通过此例,应仔细体会两平面垂直时,添加辅助线的方法.