Question

20．在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（-1，2），B（1，4），C（3，2）．
（1）求△ABC外接圆E的方程；
（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（3）在圆E上是否存在点P，满足PB²-2PA²=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求△ABC外接圆E的方程；
（2）分类讨论，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线l的方程；
（3）求出P的轨迹方程，与圆E联立，即可得出结论．

解答 解：（1）设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{1+4-E+2E+F+0}\\{1+16+D+4E+F=0}\\{9+4+3D+2E+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=-2，E=-4，F=1，
∴△ABC外接圆E的方程为x²+y²-2x-4y+1=0．
（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+1=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
弦长为2$\sqrt{3}$，满足题意．
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y-4=kx，即t=kx+4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+1=0}\end{array}\right.$，得（1+k²）x-（2k-2）x-2=0，
△=[-（2k-2）]²+8（1+k²）=12k²+8k+12＞0，
设直线l与圆交于E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k-2}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{2}{1+{k}^{2}}$，
∵弦长为2$\sqrt{3}$，∴$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{2k-2}{1+{k}^{2}}）^{2}+4×\frac{2}{1+{k}^{2}}]}$=2$\sqrt{3}$，
解得k=1，∴直线l的方程为x-y+4=0．
∴直线l的方程为x=0，或x-y+4=0．
（3）设P（x，y），
∵PB²-2PA²=12，A（-1，2），B（1，4），
∴（x-1）²+（y-4）²-2（x+1）²-2（y-2）²=12，
即x²+y²+6x+16y+5=0．
与x²+y²-2x-4y+1=0相减可得2x+5y+1=0，
与x²+y²-2x-4y+1=0联立可得29y²+14y+9=0，方程无解，
∴圆E上不存在点P，满足PB²-2PA²=12．

点评 本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于中档题．