Question

在直三棱柱中,AA₁=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.

(1)求证:B₁C∥平面A₁BD；
(2)求平面A₁DB与平面DBB₁夹角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）平面A₁DB与平面DBB₁夹角的余弦值为．

解析试题分析：（1）求证:平面；利用线面平行的判定定理，证明线面平行，即证线线平行，可利用三角形的中位线，或平行四边形的对边平行，本题由于是的中点，可连接交与点，连接，利用三角形中位线的性质，证明线线平行即可；（2）求平面与平面夹角的余弦值，取中点，则平面，则两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
试题解析：(1)连接AB₁交A₁B与点E，连接DE，则B₁C∥DE，则B₁C∥平面A₁BD4分
(2)取A₁C₁中点F,D为AC中点,则DF⊥平面ABC,
又AB=BC,∴BD⊥AC,∴DF、DC、DB两两垂直,
建立如图所示空间直线坐标系D-xyz,则D(0,0,0), B(0,,0),A₁(-1,0,3)

设平面A₁BD的一个法向量为,


取，则，     8分
设平面A₁DB与平面DBB₁夹角的夹角为θ，平面DBB₁的一个法向量为，         10分
则
∴平面A₁DB与平面DBB₁夹角的余弦值为．    12分
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．