分析:由“
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=0”推“直线AB恒过定点(2p,0)”联立直线方程与抛物线方程,利用消元法得到关于x的一元二次方程,由OA⊥OB得x
1x
2+y
1y
2=0,建立关于参数k,b的关系,消去b可得y=kx-2pk=k(x-2p),显然直线恒过(2p,0),注意对直线的斜率的讨论;由“直线AB恒过定点(2p,0)”推“
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=0”设l:x=ty+2p代入抛物线y
2=2px消去x得,y
2-2pty-4p
2=0,利用韦达定理即可求得∴“
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=0”,因此“
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=0”是“直线AB恒过定点(2p,0)”的充要条件.
解答:解:由“
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=0”推“直线AB恒过定点(2p,0)”
设点A,B的坐标分别为(x
1,y
1),(x
2,y
2)
(I)当直线l有存在斜率时,设直线方程为y=kx+b,显然k≠0且b≠0.
联立方程得:
消去y得k
2x
2+(2kb-2p)x+b
2=0
由题意:
x1x2=,y
1y
2=(kx
1+b)(kx
2+b)=
又由OA⊥OB得x
1x
2+y
1y
2=0,
即
+=0,解得b=0(舍去)或b=-2pk
故直线l的方程为:y=kx-2pk=k(x-2p),故直线过定点(2p,0)
(II)当直线l不存在斜率时,设它的方程为x=m,显然m>0
联立方程得:
解得
y=±,即y
1y
2=-2m
又由OA⊥OB得x
1x
2+y
1y
2=0,即m
2-2m=0,解得m=0(舍去)或m=2
可知直线l方程为:x=2,故直线过定点(2,0)
综合(1)(2)可知,满足条件的直线过定点(2,0).
由“直线AB恒过定点(2p,0)”推“
•
=0”
设l:x=ty+2p代入抛物线y
2=2px消去x得,
y
2-2pty-4p
2=0,设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)
则y
1+y
2=2pt,y
1y
2=-4p
2∴
•=x
1x
2+y
1y
2=(ty
1+2p)(ty
2+2p)+y
1y
2=t
2y
1y
2+2pt(y
1+y
2)+4p
2+y
1y
2=-4p
2t
2+4p
2t
2+4p
2-4p
2=0.
∴“
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=0”是“直线AB恒过定点(2p,0)”的充要条件.
故选B.
点评:本题考查了直线与抛物线的位置关系,以及证明直线恒过定点,以及充分条件和必要条件的判断,同时考查学生的计算能力,属于中档题题.