Question

对于在区间 [ m，n ] 上有意义的两个函数与，如果对任意，均有，则称与在 [ m，n ] 上是友好的，否则称与在 [ m，n ]是不友好的．现有两个函数与（a > 0且），给定区间．
（1）若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论与在给定区间上是否友好．

Answer 1

(1) ；(2) 当时，在上是友好的，当时，在上是不友好的

试题分析：（1）函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上有意义，必须满足（2）假设存在实数a，使得函数f（x）与g（x）在区间[a+2，a+3]上是“友好”的，
则|f（x）-g（x）|=|log_a（x²-4ax+3a²）|⇒|log_a（x²-4ax+3a²）|≤1即-1≤log_a（x²-4ax+3a²）≤1（*），因为a∈（0，1）⇒2a∈（0，2），而[a+2，a+3]在x=2a的右侧，
所以函数g（x）=log_a（x²-4ax+3a²）在区间[a+2，a+3]上为减函数，从而，于是不等式（*）成立的充要条件是，因此，当时，在上是友好的； 当时，在上是不友好的
点评：此类问题要求学生熟练掌握函数单调性的判断与证明，以及新定义的运用，属于中档题．