Question

6．四棱锥P-ABCD中，直角梯形ABCD中，AD⊥CD，AB∥CD，∠APD=60°，PA=CD=2PD=2AB=2，且平面PDA⊥平面ABCD，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PD与平面BDE所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理求出AD=$\sqrt{3}$，由勾股定理得PD⊥AD，由此能证明PD⊥平面ABCD．
（2）以DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PD的与平面BDE所成角的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA=2，PD=1，∠PAD=60°，
∴AD²=PA²+PD²-2PA•PDcos∠PAD=3，∴AD=$\sqrt{3}$，
∴PA²=AD²+PD²，∴PD⊥AD，
又∵PD?平面PDA，平面PDA∩平面ABCD=AD，
平面PDA⊥平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD．
解：（2）∵AD⊥CD，∴以DA、DC、DP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），P（0，0，1），E（0，1，$\frac{1}{2}$），B（$\sqrt{3}$，1，0），
∴$\overrightarrow{DE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}，1，0$），$\overrightarrow{DP}=（0，0，1）$，
设平面BDE的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$，
设直线PD与平面BDE所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{1×4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=60°，
∴直线PD的与平面BDE所成角为60°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．