Question

已知两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）和一动点P，给出下列结论：
①若|PF₁|+|PF₂|=2，则点P的轨迹是椭圆；
②若|PF₁|-|PF₂|=1，则点P的轨迹是双曲线；
③若

|PF1|

|PF2|

=λ(λ＞0，λ≠1)，则点P的轨迹是圆；
④若|PF1|•|PF2|=a2(a≠0)，则点P的轨迹关于原点对称；
其中正确的是

③④

（填序号）

Answer 1

分析：利用椭圆与双曲线的定义可对①②的正误作出判断；利用两点间的距离公式对③与④化简整理，即可分析其正误．

解答：解：∵两定点F₁（-1，0），F₂（1，0），
①：∵动点P满足|PF₁|+|PF₂|=2，
∴则点P的轨迹是线段F₁F₂，故①错误；
②：∵|PF₁|-|PF₂|=1＜2=|F₁F₂|，
∴点P的轨迹是F₁、F₂为焦点的双曲线的右支，不是两支，故②错误；
③：设P（x，y），则

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=λ（λ＞0且λ≠1），
∴整理得：（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（2+2y²）x+1-λ²=0，
∵λ＞0且λ≠1，
∴x²+y²+

2+2λ2

1-λ2

x+1=0，即(x+

1+λ2

1-λ2

)2+y²=

4λ

(1-λ2)2

2，
∴点P的轨迹是圆，故③正确；
④：∵|PF₁|•|PF₂|=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²，
设P（x，y）为曲线

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上任意一点，
则P（x，y）关于原点（0，0）的对称点为P′（-x，-y），
∵

(-x+1)2+(-y)2

•

(-x-1)2+(-y)2

=

(x-1)2+y2

•

(x+1)2+y2

=a²（a≠0），
即P′（-x，-y）也在曲线

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上，
∴点P的轨迹曲线

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）关于原点对称，即④正确；
综上所述，正确的是③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查圆锥曲线的概念及应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．