Question

如图，等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，AE⊥AB，BC=BD=2AE=2，O为AB的中点．

(Ⅰ)证明：CO⊥DE；

(Ⅱ)求二面角C—DE—A的大小．

Answer 1

方法一：(Ⅰ)证明：因△ABC为等边三角形，且O为AB的中点

∴CO⊥AB

又∵平面ABDE⊥平面ABC  ∴CO⊥平面ABDE

∵DEC平面ABDE  ∴CO⊥DE．

(Ⅱ)解：过O作OK上DE于K,连接CK，则由三垂线定理得CK⊥ED  ∴所求二面角的平面角为∠OKC．

在正三角形ABC中可求得CO=，在直角梯形ABDE中可求得

KO=，tan∠OKC=

所以所求二面角的大小为arctan．

方法二：以AB的中点O为原点建立直角坐标系(如图)，

则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)，D(0，1，2)，E(0，-1，1)，

(Ⅰ)证明：=(-，0，0)，=(0，-2，-1)，

∵·=0，  ∴CO⊥DE,

(Ⅱ)解：显然，面ABDE的一个法向量m=(1，0，0)，设面DCE的一个法向量为n=(x，y，z)，则

由n⊥得x+y-z=0，由n⊥得2y+z=0，

解得n=(，1，-2)，|cos＜m，n＞|=．

所以所求二面角的大小为arccos．