Question

已知z₁，z₂是复数，求证：若|z₁-

.

z2

|=|1-z₁z₂|，则|z₁|，|z₂|中至少有一个值为1．

Answer 1

分析：利用|z|²=z•

.

z

，结合|z₁-

.

z2

|=|1-z₁z₂|的平方，化简出|z₁|²+|z₂|²=1+|z₁|²•|z₂|²．
通过分解因式，推出|z₁|，|z₂|中至少有一个值为1．

解答：证：∵|z₁-

.

z2

|=|1-z₁z₂|
∴|z₁-

.

z2

|²=|1-z₁z₂|²．
∴（z₁-

.

z2

）

.

(z1- . z2 )

=（1-z₁z₂）

.

(1-z1z2)

．
∴（z₁-

.

z2

）（

.

z1

-z₂）=（1-z₁z₂）（1-

.

z1

.

z2

）．
化简后得z₁

.

z1

+z₂

.

z2

=1+z₁z₂

.

z1

.

z2

．
∴|z₁|²+|z₂|²=1+|z₁|²•|z₂|²．
∴（|z₁|²-1）（|z₂|²-1）=0．∴|z₁|²=1，或|z₂|²=1．
∴|z₁|，|z₂|中至少有一个为1．

点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查转化思想，计算能力，是基础题．