Question

过椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）

• A、2
• B、

  2

  3

• C、1
• D、

  5

  3

Answer 1

分析：用点斜式求出直线AB的方程，应用弦长公式求得弦长AB，求出O 到直线AB的距离d，即可求得△OAB的面积为

1

2

•AB•d 的值．

解答：解：椭圆

x2

5

+

y2

4

=1的右焦点（1，0），直线AB的方程为y-0=2（x-1），
即  y=2x-2，代入椭圆

x2

5

+

y2

4

=1化简可得6x²-10x=0，
∴x₁+x₂=

5

3

，x₁•x₂=0，∴AB=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

5

•

5

3

，
O到直线AB的距离d=

|0-0-2|

4+1

=

2

5

，故△OAB的面积为

1

2

•AB•d=

1

2

•

5 5

3

•

2

5

=

5

3

．
故选D．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，弦长公式的应用，求出弦长AB和O 到直线AB的距离d，是解题的关键．