Question

已知a、b∈R，向量

e1

=（x，1），

e2

=（-1，b-x），函数f（x）=a-

1

e1 e2

是偶函数．
（1）求b的值；
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式求出f（x），利用偶函数的定义列出方程f（x）=f（-x）恒成立，求出b的值．
（2）先判断出f（x）的单调性，对x分段讨论求出函数f（x）的最值，列出方程组，求出a 的值．

解答：解（1）由已知可得，f(x)=a-

1

|2x-b|

，且函数的定义域为D=(-∞，

b

2

)∪(

b

2

，+∞)．
又y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．
于是，b=0．
又对任意x∈D有f（x）=f（-x）
因此所求实数b=0．
（2）由（1）可知，f(x)=a-

1

|2x|

（D=（-∞，0）∪（0，+∞）．
考察函数f(x)=a-

1

|2x|

的图象，可知：f（x）在区间（0，+∞）上增函数．
f（x）在区间（-∞，0）上减函数
因y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m，n同号．
①当0＜m＜n时，f（x）在 区间[m，n]上是增函数有

a- 1 2m =m a- 1 2n =n

，即方程x=a-

1

2x

，也就是2x²-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，因此

2a＞0 △=4a2-8＞0

，解得a＞

2

．
②当m＜n＜0时，f（x）区间[m，n]上是减函数有

a+ 1 2m =n a+ 1 2n =m

，化简得（m-n）a=0，
解得a=0．
综上所述，所求实数a的取值范围a=0或a＞

2

．

点评：解决函数的奇偶性问题常利用奇函数、偶函数的定义得到恒成立的等式，注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．