Question

（2009•台州一模）已知定义在R上的函数f（x）=ax³+bx+c（a，b，c∈R），当x=-1时，f（x）取得极大值3，f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知实数t能使函数f（x）在区间（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M．请判断函数g(x)=

f(x)

x

(x∈M)的零点个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用条件当x=-1时，f（x）取得极大值3，即f（-1）=3，f'（-1）=0，以及f（0）=1，三个条件建立方程组，可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）要使函数在区间（t，t+3）上既能取到极大值，又能取到极小值，则等价为f'（x）=0在区间（t，t+3）上有两个不同的根，进而实现转化．

解答：解：（1）由f（0）=1得c=1．
又当x=-1时，f（x）取得极大值3，所以f（-1）=3，f'（-1）=0．
f′(x)=3ax2+b，

f′(-1)=3a+b=0 f(-1)=-a-b+1=3

，
得a=1，b=-3
∴f（x）=x³-3x+1．
（2）由f′（x）=3（x-1）（x+1）=0，得x=-1，
在x=1时取得极值．由-1∈（t，t+3），1∈（t，t+3）得-2＜t＜-1．
∴M=（-2，-1）．（8分）g(x)=

f(x)

x

=x2+

1

x

-3，g′(x)=2x-

1

x2

，
∴当x∈M时，g′（x）＜0，
∴g（x）在M上递减．
又g(-2)=

1

2

，g(-1)=-3
∴函数g(x)=

f(x)

x

，x∈M的零点有且仅有1个．

点评：本题考查导数与极值之间的关系．利用条件先求出函数的表达式．然后将函数进行等价转化．