Question

已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<

(1)试求函数f(x)的解析式；

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

(1) f(x)=x+ 

(2) y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称

解析:

(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)=－f(x),即…………………(2分)

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,

∴f(x)= ≥2  …………………………(4分)

当且仅当x=时等号成立，于是2=2,∴a=b2,

由f(1)＜得即,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,

∴f(x)=x+。………………………………………(7分)

(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，

则………………………………………(10分)

消去y₀得    , =1±。………………………………(13分)

∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称。…(14分)