Question

【题目】如图，已知 是上、下底边长分别为2和6，高为 的等腰梯形，将它沿对称轴 折叠，使二面角 为直二面角.

（1）证明： ；
（2）求二面角 的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题设知OA⊥OO1 ， OB⊥OO1 ， 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB从而AO⊥平面OBCO1 ， OC是AC在面OBCO1内的射影
因为tan∠OO1A= = ，tan∠O1OC= = ，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1由三垂线定理得AC⊥BO1
（2）解：由（1）AC⊥BO1 ， OC⊥BO1 ， 知BO1⊥平面AOC
设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图），

则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角
由题设知OA=3，OO1= ，O1C=1，
所以 =2 ，AC= = ，从而 = ，
又O1E=OO1sin30°= ，所以sin∠O1FE= = ，∴二面角O﹣AC﹣O1的正弦值为 ．
【解析】(1)根据题意结合已知条件可得出∠AOB是所折成的直二面角的平面角，进而得出OA⊥OB再由线面垂直的判定定理可得AO⊥平面OBCO1 ， 结合直角三角形的特点分别求出两个角的正切值，从而得到两个角的大小。(2) 由已知作出辅助线利用三垂线定理可得出∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角，利用勾股定理以及解三角形的知识求出其正弦值。