Question

关于函数f（x）=4sin（2x-

π

3

）（x∈R），有下列命题：
（1）y=f（x+

4π

3

）为偶函数；
（2）要得到函数g（x）=-4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移

π

3

个单位；
（3）y=f（x）的图象关于直线x=-

π

12

对称；
（4）y=f（x）在[0，2π]内的增区间为[0，

5π

12

]和[

11π

12

，2π]；
（5）y=f（x）的周期为π．其中正确命题的序号是

（2）（3）（4）（5）

．

Answer 1

分析：求出f（x+

4π

3

）解析式，结合三角函数的奇偶性可得y=f（x+

4π

3

）为非奇非偶函数，故（1）不正确；因为g（x）=f（x-

π

3

），结合函数图象平移的规律可得（2）正确；当x=-

π

12

时，f（-

π

12

）=-4恰好是函数的最小值，所以y=f（x）的图象关于直线x=-

π

12

对称，故（3）正确；利用正弦函数单调区间的求法，可得y=f（x）在[0，2π]内的增区间为[0，

5π

12

]和[

11π

12

，2π]，故（4）正确；利用三角函数的周期公式可得（5）正确．

解答：解：对于（1），∵f（x+

4π

3

）=4sin[2（x+

4π

3

）-

π

3

]=4sin（2x+

π

3

）
∴y=f（x+

4π

3

）为非奇非偶函数，故（1）不正确；
对于（2），∵f（x）=4sin（2x-

π

3

），满足g（x）=f（x-

π

3

）=4sin[2（x-

π

3

）-

π

3

]=-4sin2x
∴将f（x）的图象向右平移

π

3

个单位，得到函数g（x）=-4sin2x的图象，故（2）正确；
对于（3），当x=-

π

12

时，f（-

π

12

）=4sin[2（-

π

12

）-

π

3

]=4sin（-

π

2

）=-4，恰好是函数的最小值，
∴y=f（x）的图象关于直线x=-

π

12

对称，故（3）正确；
对于（4），令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈z．
取k=0和1，与区间[0，2π]取交集，得y=f（x）在[0，2π]内的增区间为[0，

5π

12

]和[

11π

12

，2π]，故（4）正确；
对于（5），y=f（x）的周期为

2π

2

=π，故（5）正确．
故答案为：（2）（3）（4）（5）

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了函数y=Asin（ωx+∅）的图象与性质，三角函数的周期性、单调性的奇偶性，属于中档题．