Question

已知函数，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x+2y-3=0，
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，，求k的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ），
由于直线x+2y-3=0的斜率为，且过点（1，1），
故，即，解得a=1，b=1。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以，
考虑函数（x＞0），
则，
(ⅰ)设k≤0，由知，
当x≠1时，h′（x）＜0，而h(1)=0，
故当x∈（0，1）时，h（x）＞0，可得；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，可得；
从而当x＞0，且x≠1时，f（x）-（）＞0，即f（x）＞；
(ⅱ)设0＜k＜1，由于当x∈（1，）时，（k-1）（x²+1）+2x＞0，
故h′（x）＞0，而h（1）=0，
故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得，与题设矛盾；
(ⅲ)设k≥1，此时h（x）＞0，而h（1）=0，
故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得，与题设矛盾；
综合得，k的取值范围为（-∞，0]。