Question

已知函数f（x）=lnx+x²
（1）若函数g（x）=f（x）-ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．
（2）在（1）条件下若a＞1，h（x）=x³-3ax，x∈[1，2]，求h（x）的最小值；
（3）设F（x）=2f（x）-3x²-kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n）且2x=m+n，证明：函数F（x）在点（x，f（x））处的切线不可能平行于x轴．

Answer 1

【答案】分析：（1）先将g（x）在（0，+∞）上递增，转化成f′（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，最后根据二次函数的图象与性质可求出实数a的取值范围；
（2）求出函数的导数，再得出导数的正负与单调性的规律，得出函数在区间[1，2]上的最小值为h（）；
（3）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x，F（x））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴．
解答：解：（1）∵g（x）=f（x）-ax
∴g'（x）=+2x-a  定义域：（0，+∞）
∴1+2x²-ax≥0在（0，+∞）成立
对称轴：x=
a≤0时只要最小值g'（0）=1＞0即可
a＞0时，g'（）=-+1≥0则≤1
0＜a≤2
综上a≤2．
（2）由（1）以及条件得：1＜a≤2，
∵h（x）=x³-3ax，，
∴h'（x）=3（x²-a）=3（x+）（x-），且1＜＜2．
所以当1＜x＜时，h'（x）＜0，即h（x）在（1，）上递增；
当＜x＜2时．h'（x）＞0，即h（x）在（，2）上递减．
故h（x）在[1，2]上的最小值为h（）=3a=-2．
（3）设F（x）在（x，F（x））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx-x²-kx
结合题意，有
①-②得
所以，由④得
所以
设，⑤式变为
设，
所以函数在（0，1）上单调递增，
因此，y＜y|_u=1=0，即，也就是，此式与⑤矛盾
所以F（x）在（x，F（x））的切线不能平行于x轴
点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题还考查了分类讨论思想在函数题中的应用，同学们在做题的同时，可以根据单调性，结合函数的草图来加深对题意的理解．