【题目】已知函数.
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若不等式对于任意成立,求正实数的取值范围.
【答案】(1) 当时,函数在上单调递增,在上单调递减;当时,函数在上单调递减,在和上单调递增. (2)
【解析】试题分析:(1)先求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调性;(2)原题等价于对任意,有成立,设,所以.
试题解析:
(1)函数的定义域为,
,
若,则
当或时,单调递增;
当时,单调递减,
若,则
当时,单调递减;
当时,单调递增.
综上所述,当时,函数在上单调递增,在上单调递减;当时,函数在上单调递减,在和上单调递增.
(2)原题等价于对任意,有成立,
设,所以,
,
令,得;令,得,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
为与中的较大值,
设,
则,
所以在上单调递增,故,所以,
从而,
所以,即,
设,则,
所以在上单调递增,
又,所以的解为,
因为,所以正实数的取值范围为.
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【题目】交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念,记交通拥堵指数为 ,其范围为 ,分别有五个级别: 畅通; 基本畅通; 轻度拥堵; 中度拥堵; 严重拥堵.晚高峰时段 ,从某市交通指挥中心选取了市区 个交通路段,依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示.
(Ⅰ)求出轻度拥堵,中度拥堵,严重拥堵路段各有多少个;
(Ⅱ)用分层抽样的方法从交通指数在 , , 的路段中共抽取个路段,求依次抽取的三个级别路段的个数;
(Ⅲ)从(Ⅱ)中抽取的个路段中任取个,求至少个路段为轻度拥堵的概率.
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【题目】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中经X表示。
(1)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差
(2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率
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【题目】在一个特定时段内,以点E为中心的7n mile以内海域被设为警戒水域.点E正北55n mile处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40n mile的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东(其中,)且与点A相距10n mile的位置C.
(I)求该船的行驶速度(单位:n mile /h);
(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
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【题目】下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的个数有( )
A.1B.2C.3D.4
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【题目】如图,CM,CN为某公园景观湖胖的两条木栈道,∠MCN=120°,现拟在两条木栈道的A,B处设置观景台,记BC=a,AC=b,AB=c(单位:百米)
(1)若a,b,c成等差数列,且公差为4,求b的值;
(2)已知AB=12,记∠ABC=θ,试用θ表示观景路线A-C-B的长,并求观景路线A-C-B长的最大值.
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【题目】下列命题中正确的个数有( )
①向量与是共线向量,则A、B、C、D四点必在一直线上;②单位向量都相等;③任一向量与它的相反向量不相等;④共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.
A.0B.1C.2D.3
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