Question

设f（x）=

16x

x2+8

（x＞0）．
（1）求f（x）的最大值；
（2）证明：对任意实数a、b，恒有f（a）＜b²-3b+

21

4

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用分离常数法化简f（x）=

16x

x2+8

=

16

x+ 8 x

，利用基本不等式求函数的最大值；
（2）化简b²-3b+

21

4

=（b-

3

2

）²+3＞2

2

，从而可证明．

解答： 解：（1）f（x）=

16x

x2+8

=

16

x+ 8 x

，
∵x+

8

x

≥4

2

，
（当且仅当x=

8

x

，即x=2

2

时，等号成立）
故

16

x+ 8 x

≤

16

4 2

=2

2

，
故f（x）的最大值为2

2

；
（2）证明：∵b²-3b+

21

4

=（b-

3

2

）²+3＞2

2

，
又∵f（a）≤2

2

，
∴对任意实数a、b，恒有f（a）＜b²-3b+

21

4

．

点评：本题考查了函数的最值的求法，同时考查了基本不等式的应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．