Question

【题目】【选修4-5：不等式选讲】
已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．
（I）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；
（Ⅱ）设m、n∈T，证明： |m+n|＜|mn+3|．

Answer 1

【答案】（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立， ∴3＞a2 ， ∴﹣ ＜a＜ ，
∴T={a|﹣ ＜a＜ }；
（Ⅱ）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，
∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，
∴3（m+n）2＜（mn+3）2 ，
∴ |m+n|＜|mn+3|
【解析】（I）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为3，可得3＞a2 ， 由此求得实数a的取值的集合T；（Ⅱ）由（1）可得m2＜3，n2＜3，再整理，即可证明结论．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．