Question

下列四个命题：①若

a

•

b

=

a

•

c

，则

b

=

c

； ②若△ABC不是直角三角形，则tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC；③函数y=|tan

x

2

|的最小正周期为2π；④(

a

| a |

+

b

| b |

)•(

. a

| a |

-

b

| b |

)=0．其中正确的命题为

②③④

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析：这是一道关于向量与三角函数知识的判断题，因此根据相关知识逐个加以判断．根据向量的运算法则，可得命题①不正确而命题④正确，根据三角函数和的正切公式推导可得命题②正确，根据正切函数的周期规律，得出命题③正确．

解答：解：对各个选项分别加以判别：
对于①，若

a

•

b

=

a

•

c

，移项得

a

(

b

-

c

)  =0，
说明向量

a

与向量

b

-

c

互相垂直，不一定有

b

=

c

，故①不正确；
对于②，若△ABC不是直角三角形，则由tan（B+C）=tan（π-A），得

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-tanA，
整理可得tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，故②正确；
对于③，根据正切函数周期公式可得y=tan

x

2

的周期为2π，
再取绝对值，得函数y=|tan

x

2

|的最小正周期为2π，命题③正确；
对④，(

a

| a |

+

b

| b |

)•(

. a

| a |

-

b

| b |

)=

( a ) 2

| a | 2

-

( b ) 2

| b | 2

=1-1=0，命题④正确；
故答案为：②③④

点评：本题以三角函数与向量的有关知识为载体，考查了命题真假的判断，属于中档题．