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    【题目】如图，三棱柱中，D是的中点.

    （1）证明：平面；

    （2）若是边长为2的正三角形，且，，平面平面.求平面与侧面所成二面角的正弦值.

    【答案】（1）见解析（2）

    【解析】

    （1）连接，记，连接，证明得到答案.

    （2）证明，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量，利用向量夹角公式得到答案.

    （1）连接，记，连接，故为中点，

    D是的中点，所以，又平面，平面.

    故平面.

    （2）取边中点点O，连接，，因为，为等边三角形，，所以，，

    又平面平面，且平面平面，

    平面，所以，，两两互相垂直.

    故以O为原点，建立空间直角坐标系如图所示：

    则由题意可知，，.

    设平面的法向量，则，即，

    令，解得，得.

    显然平面的一个法向量为.

    ∴，

    ∴二面角的正弦值为.

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    【题目】自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：

    20以下

    [20，30）

    [30，40）

    [40，50）

    [50，60）

    [60，70]

    70以上

    使用人数

    3

    12

    17

    6

    4

    2

    0

    未使用人数

    0

    0

    3

    14

    36

    3

    0

    （1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50）且未使用自由购的概率；

    （2）从被抽取的年龄在[50，70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60）的概率；

    （3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？

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    【题目】某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为

    A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差

    B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，

    C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，

    D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，

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    【题目】如图，在中，，，，分别为，的中点是由绕直线旋转得到，连结，，.

    （1）证明：平面；

    （2）若，棱上是否存在一点，使得？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由.

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    【题目】中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”．某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为，选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为分，乙和丙最后得分都为分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：

    ①每场比赛第一名得分分；

    ②甲可能有一场比赛获得第二名；

    ③乙有四场比赛获得第三名；

    ④丙可能有一场比赛获得第一名.

    则以上说法中正确的序号是______.

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    【题目】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，，.

    （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；

    （2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；

    （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

    附：相关系数r=，≈1.414.

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    （Ⅰ）若，解不等式；

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