Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n次和S_n，已知S₁=2，a₆₇₀=2009，2（a+b）S_n=（a_n+a）（a_n+b），n∈N₊，b＞

3

2

＞a．
（1）求a和b的值；
（2）bn=

an+1

3•2n

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先看n=1时，根据2（a+b）S₁=（a₁+a）（a₁+b），求得a₁=a或a₁=b，同时b＞

3

2

＞a．进而求得b；看n≥2时把2（a+b）S_n=（a_n+a）（a_n+b）和2（a+b）•S_n-1=（a_n-1+a）（a_n-1+b）相减整理可得a_n=a_n-1+（a+b）判断出数列{a_n}为等差数列，进而可求得通项公式，根据a₆₇₀=2009求得a．
（2）把（1）中的a_n代入bn=

an+1

3•2n

中求得b_n，进而用错位相减法求得T_n．

解答：解：（1）n=1时，2（a+b）•a₁=（a₁+a）（a₁+b）
∴a₁=a或a₁=b
∵a₁=2，b＞

3

2

＞a，
∴b=2，
n≥2时，2（a+b）•S_n-1=（a_n-1+a）（a_n-1+b）则有a_n²-a_n-1²=（a+b）（a_n+a_n-1），（n≥2）
∵a_n＞0∴a_n=a_n-1+（a+b）（n≥2）
∴a_n=2+（n-1）（2+a）
∵a₆₇₀=2009
∴a=1
（2）由（1）a_n=2+3（n-1）=3n-1
∴b_n=

n

2n

∵T_n=1•(

1

2

)+2(

1

2

)2+3•(

1

2

)3++(n-1)•(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n
∴

1

2

Tn=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3++(n-1)•(

1

2

)n+n(

1

2

)n+1
∴

1

2

Tn=

1

2

+（

1

2

)2+(

1

2

)3++(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
∴Tn=2-

2+n

2n

点评：本题主要考查了数列的求和．对于由等比和等差数列构成的数列，常可用错位相减法法求和．