Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acosB=bcosA．
（1）求$\frac{b}{a}$的值；
（2）若sinA=$\frac{1}{3}$，求sin（C-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）应用正弦定理和已知条件可得 $\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{sinA}{sinB}$，进而得到sin（A-B）=0，故有A-B=0，得到$\frac{b}{a}$=1．
（2）由（1）可得A=B，A为锐角，利用同角三角函数关系式可求cosA，利用倍角公式可求sin2A，cos2A的值，结合三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可求值．

解答 解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{cosA}{cosB}$，又由正弦定理可得 $\frac{a}{b}$=$\frac{sinA}{sinB}$，
∴$\frac{cosA}{cosB}$=$\frac{sinA}{sinB}$，sinAcosB-cosAsinB=0，sin（A-B）=0．
由-π＜A-B＜π 得，A-B=0，
∴a=b，即$\frac{b}{a}$=1．
（2）∵A=B，A+B+C=π，A为锐角，sinA=$\frac{1}{3}$，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sin2A=2sinAcosA=2×$\frac{1}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，cos2A=2cos²A-1=$\frac{7}{9}$，
∴sin（C-$\frac{π}{4}$）=sin（π-2A-$\frac{π}{4}$）=sin（2A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2A+cos2A）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{4\sqrt{2}}{9}$+$\frac{7}{9}$）=$\frac{8+7\sqrt{2}}{18}$．

点评 本题考查了三角形的形状判断，考查了三角形内角和定理，涉及的知识有正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，根据三角函数值求角的大小，推出sin（A-B）=0 是解题的关键．