Question

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为

2

3

，服用B有效的概率为

1

2

．
（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；
（Ⅱ） 观察3个试验组，用n表示这3个试验组中甲类组的个数，求n取不同值时的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．
（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出变量的概率．

解答：解：（1）设A_i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
B_i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，
依题意有：P（A₁）=2×

1

3

×

2

3

=

4

9

，P（A₂）=

2

3

×

2

3

=

4

9

．P（B₀）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
P（B₁）=2×

1

2

×

1

2

=

1

2

，
所求概率为：P=P（B₀•A₁）+P（B₀•A₂）+P（B₁•A₂）=

1

4

×

4

9

+

1

4

×

4

9

+

1

2

×

4

9

=

4

9

（Ⅱ） n的可能值为0，1，2，3且n～B（3，

4

9

）．
P（n=0）=（

5

9

）³=

125

729

，
P（n=1）=C₃¹×

4

9

×（

5

9

）²=

100

243

P（n=2）=C₃²×（

4

9

）²×

5

9

=

80

243

，
P（n=3）=（ 

4

9

）³=

64

729

点评：本题考查相互独立事件的概率，这种类型是近几年高考题中经常出现的，结合考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题