【题目】已知函数
有极值,且函数
的极值点是
的极值点,其中
是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)
(1)求关于
的函数关系式;
(2)当时,若函数
的最小值为
,证明:
.
【答案】(1),
(2)见解析
【解析】试题分析:(1)先分别求两函数极值点,再根据条件得关于
的函数关系式;最后求自变量取值范围(2)先研究
导函数零点情况,仅有一个零点,再根据导函数符号变化规律确定最小值,最后再利用导数求最小值函数单调性,根据单调性证明不等式
试题解析:(1)因为
,令
,解得
.
列表如下.
极小值 |
所以时,
取得极小值.
因为,
由题意可知,且
所以,
化简得,
由
,得
.
所以,
.
(2)因为
,
所以
记,则
,令
,解得
.
列表如下.
极小值 |
所以时,
取得极小值,也是最小值,
此时,
.
令,解得
.
列表如下.
极小值 |
所以时,
取得极小值,也是最小值.
所以
.
令,则
,
记
,
,
则,
.
因为,
,
所以,所以
单调递增.
所以,
所以.
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【题目】已知抛物线,直线
与E交于A、B两点,且
,其中O为原点.
(1)求抛物线E的方程;
(2)点C坐标为,记直线CA、CB的斜率分别为
,证明:
为定值.
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【题目】已知椭圆:
的一个焦点与抛物线
的焦点重合,且过点
.过点
的直线
交椭圆
于
,
两点,
为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)求面积的最大值,并求此时直线
的方程.
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【题目】定义:如果一个数列从第二项起,后一项与前一项的和相等且为同一常数,这样的数列叫“等和数列”,这个常数叫公和.给出下列命题:
①“等和数列”一定是常数数列;
②如果一个数列既是等差数列又是“等和数列”,则这个数列一定是常数列;
③如果一个数列既是等比数列又是“等和数列”,则这个数列一定是常数列;
④数列是“等和数列”且公和
,则其前
项之和
;
其中,正确的命题为__________.(请填出所有正确命题的序号)
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【题目】已知函数f(x)=x3﹣
x2+x,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在区间[,2]上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅲ)当m<0时,试判断函数g(x)=-
其中f′(x)是f(x)的导函数)是否存在零点,并说明理由.
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【题目】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图:
分组 | 频数 | 频率 |
[10,15) | 10 | 0.25 |
[15,20) | 24 | n |
[20,25) | m | p |
[25,30) | 2 | 0.05 |
合计 | M | 1 |
(1)求出表中M,p及图中a的值;
(2)若该校高三学生有240人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数;
(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率.
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【题目】已知,且
,函数
,其中
为自然对数的底数:
(1)如果函数为偶函数,求实数
的值,并求此时函数的最小值;
(2)对满足,且
的任意实数
,证明函数
的图像经过唯一的定点;
(3)如果关于的方程
有且只有一个解,求实数
的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
,平面
底面
,
为
的中点,
是棱
上的点,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若异面直线与
所成角的余弦值为
,求
的值.
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