Question

如图所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC．小明在山脚B处看索道AC，此时张角∠ABC=120°；从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时张角∠ADC=150°；从D处再攀登300米到达C处．问石竹山这条索道AC长多少米？

Answer 1

分析：在△ABC中根据∠ABD=120°，∠ADB=180°-∠ADC=30°，利用内角和定理算出∠DAB=30°，从而AB=BD=200，利用余弦定理算出AD=200

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．然后在△ADC中，根据两边AD、DC长和夹角∠ADC=150°，利用余弦定理解出AC²=390000，从而得出AC=100

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，即得石竹山这条索道AC的长．

解答：解：在△ABD中，BD=200米，∠ABD=120°，
∵∠ADB=180°-∠ADC=30°
∴∠DAB=180°-120°-30°=30°
得△ABD中，AB=BD=200，AD=

AB2+BD2-2AD•BDcos120°

=200

3

（米）
在△ADC中，DC=300，∠ADC=150°
∴AC²=AD²+DC²-2 AD•DC•cos∠ADC      
=200²×3+300²-2×200

3

×300×cos150°=390000（米²）
∴AC=

390000

=100

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（米）    
答：石竹山这条索道AC长100

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米．

点评：本题以山上的索道为例，求石竹山的一条索道AC之长．着重考查了三角形内角和定理、利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．