Question

如图，已知椭圆C：，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点．
（1）设P是椭圆C上任意一点，若，求证：动点Q（m，n）在定圆上运动，并求出定圆的方程；
（2）若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P的坐标，通过，推出m，n与P的坐标的关系，推出定圆的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，得到x₁，x₂的关系．求出MN的距离以及O到直线MN的距离，然后证明△OMN的面积是否为定值．
解答：解：（1）易求A（2，1），B（-2，1）．…（2分）
设P（x，y），则．由，得，
所以，即．故点Q（m，n）在定圆上．…（8分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则．
平方得，即．…（10分）
因为直线MN的方程为（x₂-x₁）y-（y₂-y₁）x+x₁y₂-x₂y₁=0，
所以O到直线MN的距离为，…（12分）
所以△OMN的面积S=MN•l=|x₁y₂-x₂y₁|=
==．
故△OMN的面积为定值1．…（16分）
点评：本题考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，考查转化思想计算能力．