分析 (I)由已知,转化构造得出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$,求得$\frac{1}{{a}_{1}}$=1006,故数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}以1006为首项,以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列,根据等差数列通项公式即可求得an;
(2)将an代入bn,得bn=n+1,即可求得cn,根据Tn=c1+c2+…+cn,采用错位相减法,即可求得Tn,根据函数的单调性,即可求得的Tn取值范围.
解答 解:(I)证明:将$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=an+1(n∈N*),两边取倒数,移项整理$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$,
$\frac{1}{{a}_{1}}$=1006,
故数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}以1006为首项,以$\frac{1}{2}$为公差的等差数列,
$\frac{1}{{a}_{n}}$=1006+$\frac{1}{2}$(n-1)=$\frac{n+2011}{2}$,
∴数列{an}的通项公式,an=$\frac{2}{n+2011}$,
(2)将an代入bn,得bn=$\frac{2-2010×\frac{2}{n+2011}}{\frac{2}{n+2011}}$=n+1,
∴cn=bn•($\frac{1}{2}$)n=(n+1)•($\frac{1}{2}$)n,
Tn=c1+c2+…+cn,
=2×$\frac{1}{2}$+3×($\frac{1}{2}$)2+4×($\frac{1}{2}$)3+…+(n+1)•($\frac{1}{2}$)n,
$\frac{1}{2}$Tn=2×($\frac{1}{2}$)2+3×($\frac{1}{2}$)3+4×($\frac{1}{2}$)4+…+(n+1)•($\frac{1}{2}$)n+1,
两式相减得:$\frac{1}{2}$Tn=1+($\frac{1}{2}$)2+($\frac{1}{2}$)3+…+($\frac{1}{2}$)n-(n+1)•($\frac{1}{2}$)n+1,
=1+$\frac{\frac{1}{4}[1-(\frac{1}{2})^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-(n+1)•($\frac{1}{2}$)n+1,
=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$,
∴Tn=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$<3,
由函数单调性可知,当n=1时,取最小值,T1=1
∴1≤Tn<3.
点评 本题考查等差数列的定义,判断、通项公式求解,错位相消法求和,考查 通过对递推式变形,构造出特殊的数列来解决问题的能力,计算能力,以及分析问题解决问题的能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
x | 2 | 3 | 5 | 6 |
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A. | 48种 | B. | 36种 | C. | 24种 | D. | 12种 |
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A. | sin15°cos15° | B. | cos2$\frac{π}{12}$-sin2$\frac{π}{12}$ | ||
C. | cos12°sin42°-sin12°cos42° | D. | $\frac{{2tan{{22.5}°}}}{{1-{{tan}^2}{{22.5}°}}}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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