Question

已知函f（x）=In（ax+1）+

1

2

x2-

x

a

+b（a，b为常数，a＞0）
（1）若函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程y=2，求a、b的值；
（2）当b=2时若函数f（x）在区间[0，+∞）上的最小值为2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先对函数求导，f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

，由已知f′‘（0）=0可求a，然后由切线方程可求切点坐标，进而可求b
（II）由f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

=

ax2+a- 1 a

ax+1

，通过判断f′（x）的符合求解函数在区间[0，+∞）上的单调性，进而可求函数f（x）的最小值，结合已知即可求解a的范围

解答：解（I）对函数求导可得，f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

由题意可得，f′（0）=0
∴a-

1

a

=0
∵a＞0
∴a=1，
∵切点坐标为（0，2）
∴b=2
（II）∵f′(x)=

a

ax+1

+x-

1

a

=

ax2+a- 1 a

ax+1

∵x≥0，x＞0
∴ax+1＞0
（1）当a≥1时，f′（x）≥0在区间[0，+∞）上恒成立
故f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，此时f（x）_min=f（0）=2，符合题意
（2）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0可得，x＞

1-a2

a

；由f′（x）＜0可得0≤x＜

1-a2

a

∴f（x）在区间[0，

1-a2

a

）上单调递减，在区间（

1-a2

a

，+∞）上单调递增
∴f（x）_min=f（

1-a2

a

）=，而f（0）=2不合题意
综上可得实数a的取值范围是[1，+∞）

点评：本题主要考查了函数的导数在函数的单调性的判断中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于函数的导数知识的简单综合