Question

已知函数f（x）=4^x-2•2^x+1-6，其中x∈[0，3]．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若实数a满足：f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，f（x）=（2^x）²-4•2^x-6（0≤x≤3），令t=2^x，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解
（2）由题意可得，a≤f（x）恒成立?a≤f（x）_min恒成立，结合（1）可求

解答：解：（1）∵f（x）=4^x-2•2^x+1-6（0≤x≤3）
∴f（x）=（2^x）²-4•2^x-6（0≤x≤3）…（2分）
令t=2^x，
∵0≤x≤3，
∴1≤t≤8．
令h（t）=t²-4t-6=（t-2）²-10（1≤t≤8）…（4分）
当t∈[1，2]时，h（t）是减函数；当t∈[2，8]时，h（t）是增函数．
∴f（x）_min=h（2）=-10，f（x）_max=h（8）=26…（8分）
（2）∵f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立．
∴a≤f（x）_min恒成立．
由（1）知f（x）_min=-10，
∴a≤-10．
故a的取值范围为（-∞，-10]…（14分）

点评：本题以指数函数的值域为载体，主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，及函数的恒成立与函数最值的相互转化关系的应用．