Question

20．求证：
（Ⅰ）已知a，b，c∈R，求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ca
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，展开，化简，即可得证；
（Ⅱ）运用乘1法和基本不等式，即可得证．

解答 证明：（I）由（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，
即有2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca≥0，
即为a²+b²+c²≥ab+bc+ca；
（II）由a＞0，b＞0，且a+b=1，
可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）（a+b）=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}≥2+2\sqrt{\frac{a}{b}×\frac{b}{a}}$=4，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$，取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用综合法，由基本不等式证明，注意满足的条件：一正二定三等，属于基础题．