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已知f(x)=
1,x<0
2,x≥0
,g(x)=
3f(x-1)-f(x-2)
2

(1)当1≤x<2时,求g(x);
(2)当x∈R时,求g(x)的解析式,并画出其图象;
(3)求方程xf[g(x)]=2g[f(x)]的解.
分析:(1)根据自变量的范围选择对应的解析式代入求解,(2)先求出解析式,再画函数图象(分段函数),(3)先将方程化简一下,再求解.
解答:解:(1)当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,
g(x)=
6-1
2
=
5
2

(2)由(1)知,当1≤x<2时,g(x)=
6-1
2
=
5
2

当x<1时,x-1<0,x-2<0,故g(x)=
3-1
2
=1

当x≥2时,x-1>0,x-2≥0,故g(x)=
6-2
2
=2

所以当x∈R时,g(x)的解析式为g(x)=
1,x<1
5
2
,1≤x<2
2,x≥2

其函数图象为
(3)∵g(x)>0,∴f[g(x)]=2,x∈R
g[f(x)]=
g(1)=
5
2
,x<0
g(2)=2,x≥0

所以方程xf[g(x)]=2g[f(x)]为x2=
5,x<0
4,x≥0

解得x=-
5
,或x=2
点评:本题考察函数解析式的求解、分段函数图象的画法以及方程的求解,属中档题.此题环环相扣,解答时要体会此题设计的巧妙之处.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设已知f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a,(a∈R)

(1)若x∈R,求f(x)的单调增区间;
(2)若x∈[0,
π
2
]
时,f(x)的最大值为4,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求满足f(x)=1且x∈[-π,π]的x的集合.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•茂名二模)已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m-2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)设g(x)=
1x+1
+af(x),(a≠0)
,若g(x)>0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围.

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已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(-∞,0)上的单调性;
(Ⅲ)若,设g(x)是函数f(x)在区间[0,+∞)上的导函数,问是否存在实数a,满足a>1并且使g(x)在区间上的值域为,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年黑龙江省高三上学期期末考试数学理卷 题型:选择题

下列说法错误的是            (  )

    A.命题:“已知f(x)是R上的增函数,若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”的逆否命题为真命题

    B.命题p:“∃x∈R,使得x2+x+1<0”,则   p:“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”

    C.若p且q为假命题,则p、q均为假命题

    D.“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件

 

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