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11.已知函数f(x)=2sin(x+φ)(0<φ<$\frac{π}{2}$),且f($\frac{π}{3}$)=2.
(1)求φ的值;
(2)若f(θ)+f(-θ)=$\frac{8}{5}$,θ∈(0,$\frac{π}{2}$),求f(2θ-$\frac{π}{6}$).

分析 (1)由f($\frac{π}{3}$)=2sin($\frac{π}{3}$+φ)=2,可解得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z,结合范围0<φ<$\frac{π}{2}$,即可求得φ的值.
(2)由f(θ)+f(-θ)=$\frac{8}{5}$,利用两角和与差的正弦函数公式化简可得cosθ的值,结合范围θ∈(0,$\frac{π}{2}$),可求sinθ,利用二倍角公式化简f(2θ-$\frac{π}{6}$)=4sinθcosθ,即可得解.

解答 解:(1)∵f($\frac{π}{3}$)=2sin($\frac{π}{3}$+φ)=2.
∴解得:sin($\frac{π}{3}$+φ)=1,有$\frac{π}{3}$+φ=2k$π+\frac{π}{2}$,k∈Z,
∴解得:φ=2kπ+$\frac{π}{6}$,k∈Z,
∵0<φ<$\frac{π}{2}$,
∴解得:φ=$\frac{π}{6}$.
(2)∵f(θ)+f(-θ)=$\frac{8}{5}$,
⇒2sin(θ+$\frac{π}{6}$)-2sin(θ-$\frac{π}{6}$)=$\frac{8}{5}$,
⇒4cosθsin$\frac{π}{6}$=2cosθ=$\frac{8}{5}$,
⇒cosθ=$\frac{4}{5}$,
∵θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
∴可得:sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{3}{5}$.
∴f(2θ-$\frac{π}{6}$)=2sin[(2θ-$\frac{π}{6}$)+$\frac{π}{6}$]=2sin2θ=4sinθcosθ=4×$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{48}{25}$.

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

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