Question

15．如图，平面四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求证：FC∥平面EAD．

Answer 1

分析 （1）设AC与BD相交于点O，连接FO，推导出AC⊥BD，AC⊥FO，由此能证明AC⊥平面BDEF．
（2）推导出BC∥平面EAD，BF∥平面EAD，从而平面BFC∥平面EAD，由此能证明FC∥平面EAD．

解答 证明：（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，（2分）
又O为AC中点，且FA=FC，所以AC⊥FO，（4分）
因为FO∩BD=O，所以AC⊥平面BDEF．  （6分）
（2）因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以BC∥AD，又BC?平面EAD，AD?平面EAD，
所以BC∥平面EAD，（8分）
又BF∥DE，又BF?平面EAD，DE?平面EAD，
所以BF∥平面EAD，（10分）
所以平面BFC∥平面EAD，
又FC?平面BFC，所以FC∥平面EAD．  （12分）

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．