Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（1）令函数g（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围
（2）当x，y∈^N*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

分析：（1）先求出g（x）的解析式，设曲线C在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，建立等式，根据log₂（x³+ax²+bx+1）＞0消去b得-2x02-ax₀-8＜0，使得2x²₀+ax₀+8＞0 在-4＜x₀＜-1有解，求出a的取值范围即可；
（2）令函数h（x）=

ln(1+x)

x

，求出h（x）的导函数，由分母大于0，令分子等于p（x），求出p（x）的导函数，根据p（x）导函数的正负，判断p（x）的增减性，进而得到p（x）小于0，且得到h（x）导函数的正负，得到h（x）的增减性，利用函数的增减性即可得证．

解答：解：（1）g（x）=F（1，log₂（x³+ax²+bx+1））=x³+ax²+bx+1，
设曲线C在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，
又由题设知log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g′（x）=3x²+2ax+b，3x²₀+2ax₀+b=-8  ①
∴存在实数b使得-4＜x₀＜-1       ②有解，
x³₀+ax²₀+bx₀＞0  ③
由①得b=-8-3x02-2ax₀，代入③得-2x02-ax₀-8＜0，
∴由   2x²₀+ax₀+8＞0 在-4＜x₀＜-1有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，
∴a＜10
（2）令 h（x）=

ln(1+x)

x

，x≥1，由h′（x）=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令 p（x）=

x

1+x

-ln（1+x），x＞0，
∴p′（x）=

1

(1+x)2

-

x

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，∴p（x）在[0，+∞）单调递减．
∴当x＞0时有p（x）＜p（0）=0，∴当x≥1时有h'（x）＜0，∴h（x）在[1，+∞）单调递减，
∴1≤x＜y时，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴当x，y∈N^*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．

点评：本题主要考查了学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据导函数的正负确定函数的单调性，属于中档题．