Question

【题目】已知a＝(sinx，cosx)，b＝(sinx，sinx)，f(x)＝2a·b.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)若g(x)＝f(x)，x∈，画出函数y＝g(x)的图象，讨论y＝g(x)－m(m∈R)的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）最小正周期T＝π，最大值为；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由向量的数量积的坐标运算得f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝sin2x－cos2x＋1＝，从而可得周期和最值；

（2）由五点作图法列表，描点即可作图，函数y＝g(x)－m(m∈R)的零点个数，即函数y＝g(x)的图象与直线y＝m的交点个数，数形结合即可得点.

试题解析：

(1)∵f(x)＝2a·b＝2sin2x＋2sinxcosx＝sin2x－cos2x＋1＝sin＋1，

∴函数f(x)的最小正周期T＝π，最大值为f(x)max＝＋1.

(2)g(x)＝f(x)，x∈，利用“五点法”列表为：

x	－	－	－
2x－	－	－π	－	0
sin		0	－1	0	1
y＝sin＋1	2	1	1－	1	1＋	2

描点作图如下．

函数y＝g(x)－m(m∈R)的零点个数，即函数y＝g(x)的图象与直线y＝m的交点个数．

由图可知，当m<1－或m>1＋时，无零点；

当m＝1－或m＝1＋时，有1个零点；

当1－<m<2或2<m<1＋时，有2个零点；

当m＝2时，有3个零点．