Question

20、工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p₁，p₂，p₃，假设p₁，p₂，p₃互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．
（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q₁，q₂，q₃，其中q₁，q₂，q₃是p₁，p₂，p₃的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；
（Ⅲ）假定l＞p₁＞p₂＞p₃，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可先考虑任务不能被完成的概率为（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）为定值，故任务能被完成的概率为定值，通过对立事件求概率即可．
（Ⅱ）X的取值为1，2，3，利用独立事件的概率分别求出概率，再求期望即可．
（Ⅲ）由（Ⅱ）中得到的关系式，考虑交换顺序后EX的变化情况即可．

解答：解：（Ⅰ）任务不能被完成的概率为（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）为定值，
所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关．
任务能被完成的概率为1-（1-p₁）（1-p₂）（1-p₃）
（Ⅱ）X的取值为1，2，3
P（X=1）=q₁
P（X=2）=（1-q₁）q₂
P（X=3）=（1-q₁）（1-q₂）
EX=q₁+2（1-q₁）q₂+3（1-q₁）（1-q₂）=3-2q₁-q₂+q₁q₂
（Ⅲ）EX=3-（q₁+q_2^）+q₁q₂-q₁，
若交换前两个人的派出顺序，则变为3-（q₁+q_2^）+q₁q₂-q₂，
由此可见，当q₁＞q₂时，交换前两个人的派出顺序可减小均值；
若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序，
EX可写为3-2q₁-（1-q₁）q₂，交换后个人的派出顺序则变为3-2q₁-（1-q₁）q₃，
当q₂＞q₃时交换后个人的派出顺序可减小均值
故完成任务概率大的人先派出，
可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．

点评：本题考查对立事件、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和方差等知识，以及利用概率知识解决实际问题的能力．